В приведенном ниже тексте дано описание решения с помощью ArtSGraph наиболее часто встречающихся математических задач, которые можно решить с помощью ArtSGraph. Для каждой задачи приведена стандартная формулировка, математический метод решения, иногда указано имя файла, в котором сохранено решение задачи, а также описано решение задачи с помощью ArtSGraph.

1. Вычисление значений арифметических выражений.

Вычислить .

Введите выражение (вычисления производятся немедленно после нажатия на клавиатуре клавиши Enter)

Щелкните в Окне Вычислений и введите с клавиатуры root(3,12^2+1)/(sin(sqrt(pi/3))+1) Нажмите Enter



2. Вычисление значений алгебраических выражений.

Вычислить при , и при , (Файл 2.mem).

Введите выражение, присвоив ему имя v	Щелкните в нижней (правой) части окна вычислений и введите с клавиатуры v=sqrt(ln(x^3+c)/(a*x+b)) и нажмите Enter
Введите первый набор значений параметров и выведите на экран значения параметров a, b, c и значение v (значение выражения)	Введите с клавиатуры x=1 a=2 b=3 c=4 x a b c v и нажмите Enter
Введите второй набор значений параметров и выведите на экран значения параметров a, b, c и значение v	Введите с клавиатуры x=2 a=3 b=4 c=5 x a b c v и нажмите Enter



3. Вычисление значений функции.

Вычислить при (Файл 3.mem).

Определите функцию	Щелкните в нижней (правой) части Окна Вычислений, введите с клавиатуры f=exp(-x^2/2) и нажмите Enter
Определите значения x, выведите на экран значения x и f (соответствующие значения функции)	Введите с клавиатуры x=1 x f x=1.2 x f x=1.5 x f и нажмите Enter






4. Графики функций в декартовых координатах.

Построить график функции .

Первый способ (Файл 4.mem).

Определите функцию	Щелкните в нижней ( правой) части Окна Вычислений, введите с клавиатуры f=sin(x)/x и нажмите Enter
Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите тип функции	В щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков —Тип линии (выберите Декартова)
Определите график	Введите с клавиатуры имя функции f и нажмите Enter
Увеличьте вдвое интервал изменения аргумента	Меню Команды— Конфигурация графика — Размеры (щелкните в левой половине окна диалога по кнопке со знаком “+”) — ОК
Измените толщину и цвет линии	Меню Команды— Цвет (выберите цвет)— Толщина (выберите толщину) — ОК






Второй способ (Файл 4_1.mem).

Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите тип функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков—Тип линии (выберите Декартова) — ОК
Определите функцию	Введите с клавиатуры sin(x)/x и нажмите Enter




Далее действуйте как в описано выше в первом способе построения графика.

5. Асимптоты графика функции, заданной в декартовых координатах.

Построить график функции с вертикальными асимптотами и без них.
(Программа умеет строить вертикальные асимптоты графиков функций, заданных в декартовых координатах. Можно строить графики с асимптотами и без них).

Постойте график без асимптот (Файл 5.mem).

Откройте графическое окно и отмените автоматическое построение асимптот	Меню Окно — Новое Графическое окно, Меню Вид (снимите пометку с пункта Асимптоты)
Постройте график	Меню Команды — Построить новый график — Тип линии (выберите Декартова) — ОК — введите с клавиатуры 1/(1-x^2) и нажмите Enter






Изобразите на графике асимптоты (Файл 5_1.mem).

Меню Вид (пометьте пункт Асимптоты) — Меню Команды — Перерисовать график.



6. Графики функций, заданных неявно.

Построить график функции, заданной неявно уравнением (Файл 6.mem).

Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое Графическое окно
Установите размер отображаемой области: ,	Щелкните дважды по полю графиков, установите в окнах окна диалога Свойства графика соответствующие значения — OK
Постройте график	Меню Команды — Построить новый график — Тип линии (выберите Линии уровня) — ОК— введите с клавиатуры x^6-x^4+y^2=0 и нажмите Enter
Измените цвет и толщину линии	Меню Команды — Выберите цвет линии (установите в окне диалога нужные цвет и толщину линии) — OK






7. Графики функций в параметрической форме.

Построить график функции, заданной уравнениями , (трохоида; при — циклоида) (Файлы 7.mem и 7_1.mem).

Определите функцию x и y переменной t ,	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры x=a*(t-l*sin(t)) y=a*(1-l*cos(t)) и нажмите Enter
Присвойте параметрам a и l соответственно значения a=2 l=1.5	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры a=2 l=1.5 и нажмите Enter
Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Установите по оси 0x разметку в долях	Меню Команды — Конфигурация графика — Разметка осей (выберите для оси 0x разметку в долях )
Установите размер отображаемой области x О [-pi/2, 6*pi] , y О [-5, 5]	В Конфигурации графика (окно диалога открыто) — Масштаб (введите в окнах Xmin, Xmax, Ymin, Ymax соотрветственно: -pi/2, 6*pi, -5, 5 ) — OK
Определите тип графика	Меню Команды — Построить новый график ( выберите в окне диалога Тип линии Параметрическая)
Определите кривую, заданную параметрически, и интервал изменения параметра	Щелкните справа(внизу) в Окне графиков, введите с клавиатуры (x,y);-pi,3*pi и нажмите Enter






Исследуйте вид линии при различных значениях параметров a и l.

Расположите окна вертикально	Меню Окно— Расположить окна вертикально
Измените значение параметра l	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры l=0.5 и нажмите Enter




Действуя аналогично, исследуйте зависимость вида кривой от значений параметра a.

8. Графики функций в полярных координатах.

Построить кривую, заданную в уравнением (трехлепестковая роза) (Файлы 8.mem и 8_1.mem).

Определите функцию r переменной fi	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры r=a*sin(3*fi) и нажмите Enter
Присвойте параметру a значение a=5	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры a=5 и нажмите Enter
Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите тип графика	Меню Команды — Построить новый график ( выберите в окне диалога Тип линии Полярная)
Определите кривую, заданную в полярных координатах	Щелкните справа(внизу) в Окне графиков, введите с клавиатуры r и нажмите Enter






Исследуйте вид линии при различных значениях параметра a.

Расположите окна вертикально	Меню Окно— Расположить окна вертикально
Измените значение параметра a	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры a=3 и нажмите Enter






Действуя аналогично, исследуйте зависимость вида кривой от значений параметра a.

10. Ломаные линии.

Построить квадрат, диагонали которого имеют длину, равную 10, и совпадают с координатными осями. Такой квадрат — замкнутая ломаная линия, вершины которой имеют координаты: (-5, 0), (0, 5), (5,0), (0, -5), (-5, 0) (Файл 10.mem).

Откройте окно графиков	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите вершины ломаной и изобразите ее	Щелкните дважды справа(внизу) в Окне графиков ( выберите в окне Тип функции Ломаная), введите с клавиатуры (-5,0)+(0,5)+(5,0)+(0,-5)+(-5,0) и нажмите Enter
Измените толщину и цвет линии	Меню Команды — Изменить цвет линии(выберите цвет и толщину линии) — OK






11. Дифференцирование.

Найти производную функции (Файл 11.mem).

Определите функцию	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры y=exp(sin(1/x)) и нажмите Enter
Найдите производную y, присвоив ей имя y'	Введите с клавиатуры y' =diff(y,x) и нажмите Enter






12. Производные высших порядков.

Найти производные второго и третьего порядка от функции (Файл 12.mem).

Определите функцию	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры y=sin(x^2) и нажмите Enter
Найдите вторую производную y, присвоив ей имя y' '	Введите с клавиатуры y' ' =diff(diff(y,x),x) и нажмите Enter
Найдите третью производную y, присвоив ей имя y' ' '	Введите с клавиатуры y' ' ' =diff(y' ' ,x) и нажмите Enter






13. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Найти функции, заданной параметрически уравнениями (Файл 13.mem ).
Искомая производная вычисляется по формуле .

Определите функции и	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры x=t^2 y=2*t*(3-t^2)/5 и нажмите Enter
Найдите производную y по x, присвоив ей имя dyx	Введите с клавиатуры dyx=diff(y,t)/diff(x,t) и нажмите Enter






14. Дифференцирование функций, заданных неявно.
Найти функции, заданной неявно уравнением (Файл 14.mem).

Производная функции , заданной неявно уравнением , вычисляется по формуле .

Определите функцию	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры F=x^6-x^4+y^2 и нажмите Enter
Найдите производную y по x, присвоив ей имя y'	Введите с клавиатуры y' =-diff(F,x)/diff(F,y) и нажмите Enter






15. Частные производные функций нескольких переменных.

Найти частные производные функции трех переменных (Файл 15.mem).

Определите функцию	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры F=x^6*y-y^4*z+x*y*z^2 и нажмите Enter
Найдите частные производные первого порядка , присвоив им соответственно имена Fx, Fy и Fz	Введите с клавиатуры Fx=diff(F,x) Fy=diff(F,y) Fz=diff(F,z) и нажмите Enter
Найдите частные производные второго порядка , присвоив им соответственно имена Fxx, Fxy, Fyx, Fxz, Fyy и Fzz	Введите с клавиатуры Fxx=diff(Fx,x) Fxy=diff(Fx,y) Fyx=diff(Fy,x) Fxz=diff(Fx,z) Fyy=diff(Fy,y) Fzz=diff(Fz,z) и нажмите Enter






16. Частные производные функций нескольких переменных, заданных неявно.

Найти частные производные функции двух переменных , заданной неявно уравнением . Искомые производные вычисляются по формулам: (Файл 16.mem).

Определите функцию	Щелкните в поле ввода Окна вычислений, введите с клавиатуры F=x^6*y-y^4*z+x*y*z^2 и нажмите Enter
Найдите частные производные , присвоив им соответственно имена Zx и Zy	Введите с клавиатуры Zx=-diff(F,x)/diff(F,z) Zy=diff(F,y)/diff(F,z) и нажмите Enter






17. Линии уровня.

Изобразить линии уровня для функции двух переменных (Файлы 17.mem и 17_1.mem).

Определите функцию	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры F=x^2/4+y^2/e+exp(2*x+1.5*y) и нажмите Enter
Перейдите в Окно графиков	Меню Окно — Новое графическое окно
Установите размеры отображаемой области ,	Щелкните дважды по полю графика и введите нужные числа в соответствующих полях ввода окна диалога Масштаб
Определите и постройте линии уровня для	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне построения графиков, выберите в окне диалога Вид линии — Линии уровня — ОК, введите с клавиатуры F=10,5,2,1,0.5 и нажмите Enter
Разместите Окно вычислений и Окно графиков “по вертикали”	Меню Окно — Расположить окна по верикали






Просмотрите фрагменты графика в увеличенном масштабе

Щелкните в Окне графиков. Меню Команды — Большой график — меню Вид — Окно с прокруткой. Щелкните по временному окну прокрутки, передвигайе указатель точки (кисть руки человека) по временному окну и рассматривайте фрагменты графика, отображенные в поле графиков






18. Градиент, касательная и нормаль к линии уровня.

Найти градиент, записать уравнения и изобразить касательную и нормаль к линии уровня функции двух переменных в точке . Градиент функции в точке — вектор , уравнения касательной и нормали к линии уровня в этой точке имеют соответственно вид: и (Файл 18.mem).

Легко проверить подстановкой, что , т.е. точка лежит на линии уровня .

Определите функцию	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры F=x^2/4+y^2/e+exp(2*x+1.5*y) и нажмите Enter
Найдите частные производные и , присвоив им соответственно имена Fx и Fy	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры Fx=diff(F,x) Fy=diff(F,y) и нажмите Enter
Вычислите в точке значения частных производных, присвоив им соответственно имена Fx0 и Fy0	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x=0 y=0 Fx0=Fx Fy0=Fy и нажмите Enter
Удалите численные значения переменных x и y	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x= y= и нажмите Enter
Определите линейные функции в правых частях уравнений касательной и нормали к линии в точке , присвоив им соответственно имена Ft и Fn	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры Ft=Fx0*x+Fy0*y Fn=Fy0*x-Fx0*y и нажмите Enter
Перейдите в Окно графиков	Меню Окно — Новое графическое окно
Установите размеры отображаемой области ,	Щелкните дважды по полю графика и введите нужные числа в соответствующих полях ввода окна диалога Масштаб
Определите и постройте линию уровня	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне построения графиков, выберите в окне диалога Вид линии — Линии уровня — ОК, введите с клавиатуры F=1 и нажмите Enter
Определите и постройте линию уровня	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне построения графиков, выберите в окне диалога Вид линии — Линии уровня — ОК, введите с клавиатуры Ft=0 и нажмите Enter
Определите и постройте линию уровня	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне построения графиков, выберите в окне диалога Вид линии — Линии уровня — ОК, введите с клавиатуры Fn=0 и нажмите Enter






19. Графическое решение уравнений.

Найти графически, с погрешностью, не превышающей , все решения уравнения (Файлы 19.mem, 19_1.mem, 19_2.mem).

Для того чтобы решить это уравнение графически, достаточно найти точки пересечения с осью абсцисс графика функции .

Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите тип функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков—Тип линии (выберите Декартова)—ОК
Определите функцию	Введите с клавиатуры x^2+exp(x)-1 и нажмите Enter






Очевидно, что одно из решений — . Подстановкой легко убедиться, что .

Найдите на графике второй корень	Установите как можно точнее указатель мыши на левой точке пересечения графика функции с осью абсцисс и посмотрите в правом нижнем углу экрана координаты указателя мыши. Отображенное там значение и есть приближенное значение искомого решения
Для того чтобы найти корень точнее воспользуйтесь «микроскопом»	Щелкните левой клавишей мыши по полю графика и, не отпуская клавиши, растяните выделяющий прямоугольник до нужных размеров и нажмите на клавиатуре клавишу Ctrl






В новом окне координаты корня определяются значительно точнее.

Выполните последнюю операцию несколько раз, пока длина промежутка, содержащего точку

пересечения графика с осью абсцисс, не станет меньшей .



По графику можно установить, что приближенное значение решения — . Погрешность этого решения не превышает , поскольку корень принадлежит отрезку , длина которого равна .

20. Графическое решение систем уравнений.

Решить графически систему нелинейных уравнений (Файлы 20.mem, 20_1.mem).

Для того чтобы решить это уравнение графически, достаточно найти точки пересечения линий , где , .

Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите тип функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков — Тип линии (выберите Линии уровня) — ОК
Определите линию уровня	Ведите с клавиатуры x-exp(-y)=0 и нажмите Enter
Определите тип функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков—Тип линии (выберите Линии уровня) — ОК
Определите линию уровня	Ведите с клавиатуры y-exp(x)=0 и нажмите Enter






Найдите на графике решение системы — координаты точки пересечения линий	Установите как можно точнее указатель мыши на точке пересечения линий и посмотрите в правом нижнем углу экрана координаты указателя мыши. Отображенные там значения и — приближенное значение искомого решения системы
Для того чтобы найти корень точнее воспользуйтесь «микроскопом»	Щелкните левой клавишей мыши по полю графика и, не отпуская клавиши, растяните выделяющий прямоугольник до нужных размеров и нажмите на клавиатуре клавишу Ctrl






Более точное значение решения и . Его можно проверить в Окне Вычислений (см. пункт 2).

21. Численное решение уравнений методом простых итераций.

Методом простых итераций решить уравнение . Найти корень с погрешностью, не превышающей (Файл 21.mem).

Метод простых итераций решения уравнения , состоит в построении последовательности , сходящейся при к точному решению уравнения.

Для того чтобы решить методом простых итераций уравнение , нужно заменить его эквивалентным уравнением и выбрать в качестве нулевого приближения решения.

Определите функцию	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры f=sqrt(atg(1/x)) и нажмите Enter
Определите нулевое приближение решения и выведите на экран значения обеих частей уравнения	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x=1 f x и нажмите Enter
Найдите по формуле первое приближение решения и выведите на экран значения обеих частей уравнения	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x=f f x и нажмите Enter
Найдите очередное приближение решения	Щелкните в строке с командой x=f f x и нажмите Enter




Повторяйте последнюю операцию до тех пор, пока значения обеих частей уравнения не совпадут до пятого десятичного знака. Приближенное значение решения , вычислено с погрешностью .



22. Численное решение уравнений методом секущих (методом хорд).

Методом секущих решить уравнение . Найти корень с погрешностью, не превышающей (Файл 22.mem).

Метод секущих решения решения уравнения , состоит в построении последовательности , сходящейся при к точному решению уравнения.

Для того чтобы решить методом секущих уравнение положим и .

Определите функцию	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры f=(ln(x))^2-1/x и нажмите Enter
Определите нулевое и первое приближения , , вычислите значения функции в точках и , выведите на экран значения , , и	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры xa=1 xb=3 x=xa fa=f x=xb fb=f xa fa xb fb и нажмите Enter
Найдите по формуле очередное приближение решения, вычислите значение функции в найденной точке и выведите их на экран, присвойте значение предпоследнего приближения решения и соответствующее значение функции переменным xa, fa, а значение последнего приближения решения и соответствующее значение функции — xb, fb; выведите на экран значения , , и	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x=xb-fb*(xb-xa)/(fb-fa) x f xa=xb fa=fb xb=x fb=f xa fx xb fb и нажмите Enter
Найдите очередное приближение решения	Щелкните в строке с командой x=xb-fb*(xb-xa)/(fb-fa) x f xa=xb fa=fb xb=x fb=f xa fx xb fb и нажмите Enter






Повторяйте последнюю операцию до тех пор, пока значения двух последовательных приближений не совпадут до пятого десятичного знака. Приближенное значение решения , вычислено с погрешностью .

23. Численное решение уравнений методом Ньютона.

Методом Ньютона решить уравнение . Найти корень с погрешностью, не превышающей (Файл 23.mem).

Метод Ньютона решения уравнения , состоит в построении последовательности , сходящейся при к точному решению уравнения.

Для того чтобы решить методом Ньютона уравнение положим .

Определите функцию	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры f=acos(x^2)-x и нажмите Enter
Найдите производную функции и назовите ее f’	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры f’=diff(f,x) и нажмите Enter
Определите нулевое приближение , вычислите значение функции в точке и выведите на экран значения и	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x=0.5 x f и нажмите Enter
Найдите очередное приближение решения, вычислите значение функции в найденной точке и выведите их на экран	Щелкните внизу(справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x=x-f/f’ x f и нажмите Enter
Найдите очередное приближение решения	Щелкните в строке с командой x=x-f/f’ x f и нажмите Enter






Повторяйте последнюю операцию до тех пор, пока значения двух последовательных приближений не совпадут до пятого десятичного знака. Приближенное значение решения , вычислено с погрешностью .

24. Поле направлений.

Построить поле направлений, заданное функцией двух переменных , которое, в частности, является полем направлений обыкновенного дифференциального уравнения (Файл 24.mem).

Легко проверить подстановкой, что выражение является общим интегралом уравнения . Для этого нужно построить поле направлений и семейство интегральных кривых уравнения .

Перейдите в режим графиков	Меню Окно — Новое графическое окно
Определите тип функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков—Тип линии (выберите Поле направлений) — ОК
Определите поле направлений	Щелкните внизу(справа) в Окне Графиков, введите с клавиатуры sin(x)/sin(y) и нажмите Enter
Измените разметку осей	Щелкните дважды по полю графиков — выберите в окне диалога закладку Разметка осей — выберите для обеих осей (щелкнув в соответствующем окне) разметку в долях — OK






Постройте семейство интегральных кривых уравнения . Убедитесь, посмотрев на график, что поле направлений, заданное функцией , определяет наклон касательных в каждой тоске интегральных кривых уравнения .

Определите тип функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне Графиков — Тип линии (выберите Линии уровня) — ОК
Определите линии уровня	Щелкните справа(внизу) в Окне Графиков, введите с клавиатуры cos(x)-cos(y)=-2,-1,0,0.1,0.5,1,2 и нажмите Enter
Измените цвет и толщину линии	Меню Команды — Изменить цвет и толщину линии — установите в соответствующих окнах ввода нужные цвет и толщину линии — ОК






Как видно на графике, построенное поле направлений определяет наклон касательных в каждой точке, принадлежащей интегральной кривой уравнения.

25. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

Решить методом Эйлера с шагом задачу Коши , на отрезке (Файлы 25.mem, 25_1.mem).

При решении задачи Коши , методом Эйлера решение уравнения в точке вычисляется по формуле .

Определите правую часть уравнения	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры f=y^2*sin(10*x) и нажмите Enter
Определите начальную точку и шаг интегрирования, выведите на экран координаты начальной точки	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры x=0 y=1.4 h=0.1 x y и нажмите Enter
Найдите по формулам Эйлера решение на следующем шаге и выведите на экран новую точку и значение решения в ней	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры y=y+h*f x=x+h x y и нажмите Enter






Повторяйте последнюю операцию до тех пор, пока значение не станет равным единице.

Найдено приближенное значение решения .

Можно изобразить вычисленное приближенное решение графически. Для этого нужно определить ломаную линию, вершинами которой являются точки с координатами , изобразить поле направлений, заданное правой частью уравнения (см. пункт 24), и изобразить ломаную линию, соединяющую точки, с вычисленными по формулам Эйлера координатами.



Из графика видно, что уменьшив шаг интегрирования можно получить более точное решение.

26. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутты.

Решить методом Эйлера с шагом задачу Коши , на отрезке (Файлы 26.mem, 26_1.mem).

При решении задачи Коши , методом Эйлера решение уравнения в точке вычисляется по формуле , где , , , .

Определите правую часть уравнения	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры f=y^2*sin(10*x) и нажмите Enter
Определите начальную точку и шаг интегрирования, выведите на экран координаты начальной точки	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры x=0 y=1.4 h=0.1 x y и нажмите Enter
Найдите по формулам Рунге-Кутты решение на следующем шаге и выведите на экран новую точку и значение решения в ней	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры y0=y k1=f x=x+h/2 y=y0+k1*h/2 k2=f y=y0+k2*h/2 k3=f x=x+h/2 y=y0+k3*h k4=f y=y0+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6 x y и нажмите Enter
Найдите по тем же формулам решение на следующем шаге и выведите на экран новую точку и значение решения в ней	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений по строке с командой y=y+h*f x=x+h x y и нажмите Enter






Повторяйте последнюю операцию до тех пор, пока значение не станет равным единице.

Найдено приближенное значение решения .

27. Геометрическое решение задачи линейного программирования.

Найти значения , доставляющие минимум функции , и удовлетворяющие условиям (Файл 27.mem).

Эта задача может быть решена графически. Нужно построить многоугольник, описанный неравенствами (он расположена в первом квадранте), построить линии уровня целевой функции — и определить множество точек (полуплоскость, отрезок, вершину), на котором целевая функция достигает минимума.

Откройте окно графиков	Меню Окно — Новое графическое окно
Измените имена осей и границы отображаемой области	Меню Команды — Конфигурация графика — выберите в окне диалога закладку Имена — введите в соответствующих полях имена x1 (ось абсцисс), x2 (ось ординат) — выберите закладку Границы области — установите Xmin, Xmax, Ymin и Ymax соответственно равными 0, 250, 0, 300 — ОК
Определите тип функции для построения допустимой области изменения переменных	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне графиков — выберите в окне диалога Тип функции «Линии уровня» — ОК
Введите уравнение для первой границы	Щелкните справа (внизу) в Окне графиков, введите с клавиатуры x1+2*x2=220 и нажмите Enter






Аналогично изобразите границы 2*x1+x2=260, 4*x1+5*x2=640 и линию уровня целевой функции 8*x1+12*x2=1000
(Линию уровня целевой функции изобразите более толстой линией).

Увеличьте значение целевой функции	Щелкните в последней строке Окна графиков и введите в равенстве 8*x1+12*x2=1000 вместо 1000 сначала 1200, а затем 1400. Видно, что наибольшего значения целевая функция достигает в правой верхней вершине многоугольника, ограниченного тремя прямыми и координатными осями
Для того чтобы точнее определить координаты этой вершины, увеличьте масштаб изображения в ее окрестности	Щелкните по полю графиков в окрестности нужной вершины, не отпуская клавишу мыши, растяните прямоугольник до нужного размера и нажмите на клавиатуре клавишу Ctrl






Определите координаты вершины многоугольника

Установите как можно точнее указатель мыши в точке пересечения прямых — координаты указателя мыши отображены в нижнем правом углу окна




Эти значения, как видно на рисунке — , т.е. .

Вычислите значение целевой функции в найденной точке, выполнив соответствующие вычисления в Окне Вычислений.

Перейдите в Окно Вычислений	Щелкните по Окну Вычислений
Определите значения ,и выражение для целевой функции	Щелкните внизу (справа) в Окне вычислений, введите с клавиатуры x1=60 x2=80 8*x1+12*x2 и нажмите Enter






Значение целевой функции равно 1440. Для проверки вычислений полезно изобразить линию уровня .

Вернитесь в Окно графиков

Щелкните по Окну графиков, щелкните по последней строке справа (внизу) в поле ввода функций, исправьте 1400 на 1440 и нажмите Enter




Видно, что линия уровня действительно проходит через вершину с координатами .

28. Ряды Тейлора.

Исследовать сходимость ряда Тейлора (Файл 28.mem).
Постройте график функции и графики частичных сумм ее ряда Тейлора.

Определите первое значение индекса суммирования, первый член и первую частичную сумму ряда Тейлора	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры n=0 a=1 s=a и нажмите Enter
Откройте Окно графиков	Меню Окно — Окно графиков
Изобразите график функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне графиков — выберите в окне диалога Тип функции «Декартова» — ОК — введите с клавиатуры exp(x) и нажмите Enter
Изобразите график частичной суммы s	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне графиков — выберите в окне диалога Тип функции «Декартова» — ОК — введите с клавиатуры s и нажмите Enter
Измените цвет и толщину линии, изображающей функцию	Щелкните в окне графиков по строке exp(x) — меню Команды — Изменить цвет линии — установите в соответствующих полях ввода окна диалога нужные цвет и толщину функции — ОК
Вернитесь в Окно Вычислений	Щелкните по окну Вычислений
Определите очередной член ряда, очередную частичную сумму и новое значение индекса суммирования	Введите с клавиатуры a=a*x/(n+1) s=s+a n=n+1 и нажмите Enter
Вернитесь в Окно графиков	Щелкните по окну графиков




Теперь на графике изображена вторая частичная сумма.

Вычислите очередную частичную сумму

Вернитесь в Окно Вычислений — Щелкните по окну — Щелкните по строке с командой a=a*x/(n+1) s=s+a n=n+1 и нажмите Enter








Вернитесь в Окно графиков

Щелкните по окну графиков






Теперь на графике изображена очередная частичная сумма. Повторите последние операции несколько раз и наблюдайте за изменением графика частичных сумм ряда Тейлора.

29. Ряды Фурье.

Исследовать сходимость ряда Фурье функции (Файл 29.mem).
Постройте график функции и графики частичных сумм ее ряда Фурье.

Определите первое значение индекса суммирования, первый член и первую частичную сумму ряда	Щелкните внизу (справа) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры n=0 s=0 и нажмите Enter
Определите очередной член ряда, очередную частичную сумму и новое значение индекса суммирования	Введите с клавиатуры a=(4*pi)/(2*n+1) s=s+a*sin((2*n+1)*x) n=n+1 и нажмите Enter






Откройте Окно графиков	Меню Окно — Окно графиков
Изобразите график функции	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне графиков — выберите в окне диалога Тип функции «Ломаная линия» — ОК— введите с клавиатуры (-pi,-1)+(0,-1)-(0,1)+(pi,1) и нажмите Enter
Изобразите график частичной суммы s	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне графиков — выберите в окне диалога Тип функции «Декартова» — ОК— введите с клавиатуры s и нажмите Enter
Измените цвет и толщину линии, изображающей функцию	Щелкните в окне графиков по строке (-pi,-1)+(0,-1)-(0,1)+(pi,1) — меню Команды — Изменить цвет линии — установите в соответствующих полях ввода окна диалога нужные цвет и толщину функции — ОК
Вычислите очередную частичную сумму	Вернитесь в Окно Вычислений — Щелкните по окну — Щелкните по строке с командой a=(4*pi)/(2*n+1) s=s+a*sin((2*n+1)*x) n=n+1 и нажмите Enter
Вернитесь в Окно графиков	Щелкните по окну графиков




Теперь на графике изображена очередная частичная сумма. Повторите последние операции несколько раз и наблюдайте за изменением графика частичных сумм ряда Фурье ступенчатой функции.



30. Плотность вероятностей случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Исследовать вид графика плотности вероятностей случайной величины, имеющей нормальное распределение, при различных значениях математического ожидания и среднеквадратичного отклонения (Файл 30.mem).

Плотность распределения вероятностей случайной величины, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением .имеет вид: .

Определите функцию	Щелкните внизу (слева) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры p=(1/sqrt(2*pi)/s)*exp(-(x-m)^2/2/s^2) и нажмите Enter
Определите значения математического ожидания и дисперсии , и назовите соответствующую плотность вероятностей — p1	Щелкните внизу (слева) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры m=0 s=1 p1=p и нажмите Enter
Определите другие значения математического ожидания и дисперсии , и назовите соответствующую плотность вероятностей — p2	Щелкните внизу (слева) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры m=0 s=3 p2=p и нажмите Enter
Снова определите другие значения математического ожидания и дисперсии , и назовите соответствующую плотность вероятностей — p3	Щелкните внизу (слева) в Окне Вычислений, введите с клавиатуры m=2 s=2 p3=p и нажмите Enter






Откройте Окно графиков	Меню Окно — Новое графическое окно
Постройте графики определенных выше функций плотности вероятностей	Щелкните дважды справа (внизу) в Окне графиков — выберите в окне диалога Тип функции «Декартова» — ОК — введите с клавиатуры p1 и нажмите Enter
Выберите цвет линии	Меню Команды — Изменить цвет линии — установите в соответствующих полях окна диалога Стиль линии нужные параметры — ОК






Аналогично определите графики двух других функций.

31. Кривые второго порядка.

Изобразить кривые второго порядка, заданные уравнениями , , (Файл 31.mem).

Откройте графическое окно	Меню Окно — Новое графическое окно
Постойте первую из заданных кривых	Щелкните дважды справа(внизу) в Окне графиков —выберите в окне Тип линии «Линии уровня» — ОК — введите с клавиатуры 2*x^2-x*y+y^2-x+y-5=0 — нажмите Enter
Выберите цвет и толщину линии	Меню Команды — Изменить цвет линии — установите в соответствующих полях окна диалога Стиль линии нужные параметры — ОК






Аналогично постройте остальные две линии.